Der Untertest „Quantitative und formale Probleme“ stellt dir Rechenaufgaben in medizinischem oder naturwissenschaftlichem Gewand: Dosierungen und Infusionsraten, Konzentrationen und Verdünnungen, Durchflüsse, Drücke, Strahlenintensitäten. Die Mathematik dahinter ist Mittelstufenniveau – Dreisatz, Prozentrechnen, Potenzen, gelegentlich eine Formel, die in der Aufgabe selbst steht. Genau das macht den Untertest tückisch: Wer hier Punkte verliert, verliert sie fast nie am Rechenweg.
Woran die Punkte wirklich hängen
Drei Quellen erklären den größten Teil der Fehler.
- Einheiten. Mikrogramm gegen Milligramm, Minuten gegen Stunden, Kubikzentimeter gegen Liter, Prozent gegen Promille. Jeder einzelne Umrechnungsschritt ist trivial – und trotzdem entsteht hier der Großteil der falschen Antworten, weil die Umrechnung vergessen, doppelt oder in die falsche Richtung gemacht wird.
- Falsch gelesene Proportionalität. Der Text sagt, eine Größe verdreifache sich, und du rechnest „mal 3“, wo „durch 3“ richtig gewesen wäre. Das Ergebnis ist dann nicht ein bisschen falsch, sondern um den Faktor 9 daneben – und wartet als Antwortoption auf dich.
- Kopfrechnen ohne Plan. Unter Zeitdruck beginnt man zu rechnen, bevor klar ist, was gesucht ist. Nach zwei Zwischenergebnissen weiß man nicht mehr, welche Zahl welche Einheit trägt, und fängt von vorn an. Das kostet mehr Zeit als die ganze Aufgabe wert ist.
Die feste Arbeitsreihenfolge
Gegen alle drei hilft dieselbe Disziplin: eine Reihenfolge, die du bei jeder Aufgabe gleich durchziehst, auch bei den leichten.
- Den Fragesatz zuerst. Was ist gesucht, und in welcher Einheit? Lies die Frage, bevor du den Aufgabentext liest, und notiere die gesuchte Einheit. Du liest den Text danach gezielt, nicht neugierig.
- Die gegebenen Werte sammeln. Untereinander, jeder mit seiner Einheit, genau so, wie er dasteht. Noch nichts umrechnen.
- Die Beziehung hinschreiben. Als Formel oder als Proportionalität. Erst wenn die Beziehung steht, kommen Zahlen ins Spiel.
- Einsetzen – mit Einheiten. Die Einheiten laufen mit, sie sind Teil der Rechnung.
- Rechnen, und erst zum Schluss umwandeln.
Punkt fünf ist der wichtigste, und er ist der Grund, warum diese Reihenfolge überhaupt etwas bringt. Wer mitten in der Rechnung umrechnet, hat danach Zwischenergebnisse im Heft, von denen er nicht mehr sicher weiß, ob sie schon umgerechnet sind – und rechnet denselben Faktor entweder zweimal oder gar nicht ein. Wenn du dagegen bis zum Ende in den gegebenen Einheiten rechnest, gibt es genau eine Umwandlung. Sie ist auf ein Ziel gerichtet, das du in Schritt 1 aufgeschrieben hast, und sie ist überprüfbar.
Einheiten als Prüfwerkzeug
Einheiten sind nicht nur Fehlerquelle, sie sind auch die billigste Kontrolle, die du hast: Rechne sie mit, als wären sie Faktoren. Kommt am Ende nicht die gesuchte Einheit heraus, ist die Formel falsch – und du weißt es, bevor du eine einzige Zahl multipliziert hast.
Ein kleines Beispiel. Gesucht ist die Stromstärke des Blutes durch ein Gefäß, gegeben sind die Querschnittsfläche A = 3 cm² und die Strömungsgeschwindigkeit v = 20 cm/s. Wer die Formel nicht parat hat, schreibt unter Zeitdruck leicht Q = v / A. Die Einheitenprobe:
(cm/s) ÷ cm² = 1 / (cm · s)
Das ist keine Einheit für Volumen pro Zeit, die Formel kann also nicht stimmen. Mit Q = v · A dagegen: cm/s · cm² = cm³/s – Volumen pro Zeit, das passt. Und erst jetzt die Zahlen: 20 · 3 = 60, also 60 cm³/s. Ein Kubikzentimeter ist ein Milliliter; wäre die Stromstärke pro Minute gefragt, folgt zum Schluss die eine Umwandlung: 60 mL/s · 60 s/min = 3.600 mL/min = 3,6 L/min.
Vier Proportionalitäten, die immer wiederkommen
Die meisten Aufgaben lassen sich auf einen von vier Zusammenhängen zurückführen. Entscheidend ist, sie an der Formulierung zu erkennen, nicht an der Formel.
| Typ | Formulierung in der Aufgabe | Beziehung | Faktor 3 bei x bedeutet |
|---|---|---|---|
| direkt | „proportional zu“, „pro“, „je … desto mehr“, doppelte Menge in doppelter Zeit | y = k · x | y wird dreifach |
| umgekehrt | „bei gleichbleibendem Gesamtvolumen“, „dieselbe Menge auf mehr … verteilt“, „konstanter Durchsatz“ | x · y = konstant | y wird ein Drittel |
| umgekehrt quadratisch | Punktquelle und Abstand: Intensität, Bestrahlungsstärke, Schalldruck | y = k / x² | y wird ein Neuntel |
| verkettet | zwei Größen ändern sich gleichzeitig, oder es tauchen Potenzen wie r³ und r⁴ auf | y = k · a / b² | Faktoren einzeln bilden, dann multiplizieren |
Der praktische Gewinn: Fragt die Aufgabe nach einer Änderung und nicht nach einem Absolutwert, brauchst du die Absolutwerte überhaupt nicht. Sagt eine Aufgabe, die Stromstärke sei proportional zur vierten Potenz des Gefäßradius, und der Radius sinke auf die Hälfte, dann ist die Antwort (1/2)⁴ = 1/16 – ohne eine einzige Zahl aus dem Aufgabentext. Verdoppelt sich der Radius einer Kugel, wächst ihr Volumen um den Faktor 2³ = 8 und ihre Oberfläche um 2² = 4. Skalieren ist schneller und weniger fehleranfällig als zweimal absolut zu rechnen.
Erst schätzen, dann rechnen
Leg dich vor dem Rechnen auf eine Größenordnung fest. Das kostet Sekunden und fängt jedes absurde Ergebnis ab. Wie viel Natriumchlorid steckt in 250 mL einer 0,9-prozentigen Lösung? 0,9 g pro 100 mL, also etwas mehr als das Doppelte: gut 2 g. Die Rechnung bestätigt 2,25 g. Kommt bei dir 22,5 g oder 0,225 g heraus, ist eine Zehnerstelle verrutscht, und du siehst es im gleichen Moment.
Häufig reicht die Schätzung sogar allein. Wenn die Optionen 0,225 g, 2,25 g, 22,5 g und 225 g anbieten, ist die Aufgabe mit der Größenordnung entschieden. Liegen die Optionen dagegen dicht beieinander, weißt du wenigstens, welche du ausschließen kannst – und musst nur noch zwischen zwei Zahlen genau rechnen.
Wie die falschen Optionen gebaut sind
Die Distraktoren sind keine Zufallszahlen. Sie sind typischerweise die Ergebnisse bestimmter Fehler:
- Ein vergessener Umrechnungsfaktor. Meist 60 zwischen Minute und Stunde oder 1.000 zwischen Mikro- und Milli-, Milli- und Basiseinheit.
- Die falsche molare Masse. Nur das Kation gewogen – Natrium mit 23 g/mol statt Natriumchlorid mit 58,5 g/mol – oder das Kristallwasser des Salzes ignoriert.
- Der Faktor zehn. Ein Komma an der falschen Stelle, oft im Zusammenhang mit Prozent- oder Promilleangaben.
- Das umgedrehte Verhältnis. Multipliziert statt dividiert, oder bei umgekehrter Proportionalität mit dem Kehrwert skaliert.
Daraus folgt zweierlei. Erstens: Dass deine Zahl unter den Optionen steht, ist kein Beweis, dass sie richtig ist. Zweitens, und das ist der nützlichere Teil: Wenn du beim Üben nicht nur notierst, dass eine Aufgabe falsch war, sondern welche falsche Option du gewählt hast, liest du daran deinen eigenen Fehlertyp ab. Wer dreimal die Option mit dem vergessenen Faktor 60 gewählt hat, weiß, worauf er ab jetzt zuerst schaut.
Zeit im Untertest einteilen
Arbeite in zwei Durchgängen. Im ersten löst du sofort, was in einem Schritt geht: Prozentaufgaben, reine Skalierungsfragen, Aufgaben mit höchstens einer Umrechnung, alles, wo die Beziehung nach dem ersten Lesen dasteht. Was mehrstufig ist, eine ungewohnte Formel mitbringt oder drei Umrechnungen verlangt, markierst du und lässt es liegen – auch wenn es weh tut, eine Aufgabe unfertig zurückzulassen.
Der Grund ist einfach: Jede Aufgabe zählt gleich viel. Fünf Minuten an einer komplizierten Aufgabe können drei einfache kosten, die weiter hinten stehen. Im zweiten Durchgang nimmst du die markierten in der Reihenfolge, in der sie dir jetzt am zugänglichsten erscheinen.
Und behandle den letzten Teil des Durchgangs als eigene Aufgabe: Falsche Antworten werden nicht abgezogen, unbeantwortete Aufgaben bringen aber garantiert keinen Punkt. Es gehört also am Ende jedes Feld gefüllt – auch dort, wo du nur die Größenordnung geschätzt und zwei Optionen ausgeschlossen hast.
Beispiel 1: die Einheitenfalle
Ein Patient mit 70 kg Körpergewicht soll ein Medikament mit 5 µg pro Kilogramm und Minute erhalten. Die Infusionslösung enthält 250 mg des Wirkstoffs in 500 mL. Mit welcher Rate muss die Lösung laufen?
Gesucht: eine Rate in mL/h. Gegeben: 5 µg/(kg · min), 70 kg, 250 mg in 500 mL.
Beziehung: Laufrate = Dosisrate ÷ Konzentration. Die Einheitenprobe vorab: (mg/h) ÷ (mg/mL) = mL/h. Passt.
- Dosisrate: 5 µg/(kg · min) · 70 kg = 350 µg/min.
- Auf die Stunde: 350 µg/min · 60 min/h = 21.000 µg/h = 21 mg/h.
- Konzentration: 250 mg ÷ 500 mL = 0,5 mg/mL.
- Rate: 21 mg/h ÷ 0,5 mg/mL = 42 mL/h.
Die Schätzung vorweg: 21 mg pro Stunde bei einem halben Milligramm pro Milliliter – das sind gut 40 mL pro Stunde. Wer die Umrechnung von Minuten auf Stunden vergisst, landet bei 0,7 mL/h; wer µg nicht in mg umrechnet, bei 42.000 mL/h; wer statt zu dividieren multipliziert, bei 10,5 mL/h. Alle drei stehen in solchen Aufgaben als Option bereit, und die Schätzung erledigt mindestens zwei davon in zwei Sekunden.
Beispiel 2: umgekehrte Proportionalität
Bei einer Atemfrequenz von 12 Atemzügen pro Minute beträgt das Atemzugvolumen 600 mL. Die Frequenz wird auf 20 Atemzüge pro Minute erhöht, das Atemminutenvolumen soll unverändert bleiben. Wie groß ist das neue Atemzugvolumen?
Das Signal steht im Wort „unverändert“: Frequenz · Atemzugvolumen = konstant. Das ist umgekehrte Proportionalität, du brauchst also nur den Faktor. Die Frequenz wird mit 20/12 multipliziert, das Volumen folglich mit 12/20 = 0,6:
600 mL · 0,6 = 360 mL
Gegenprobe über die Absolutwerte: 12/min · 600 mL = 7.200 mL/min, und 7.200 mL/min ÷ 20/min = 360 mL. Beide Wege stimmen überein, der erste ist kürzer.
Hier lohnt der Blick auf die Distraktoren. 1.000 mL entsteht aus dem umgedrehten Verhältnis (600 · 20/12), 400 mL daraus, dass man 12/20 unterwegs zu „etwa zwei Dritteln“ rundet statt drei Fünftel zu nehmen, und 300 mL aus dem Gedanken, die Frequenz sei „fast doppelt so hoch“, also halbiere sich das Volumen. Die Schätzung allein entscheidet zwischen 300, 360 und 400 nicht – deshalb gehört hier der exakte Bruch hin. Wäre nur gefragt, um welchen Faktor sich das Atemzugvolumen ändert, wäre 0,6 bereits die vollständige Antwort.
Was 2027 damit passiert
„Quantitative und formale Probleme“ bleibt im TMSnat erhalten. Daneben tritt ein verwandter neuer Untertest, „Arithmetisches Problemlösen“. Beide zielen auf dieselbe Fähigkeit: eine Textaufgabe in eine Beziehung übersetzen, sauber mit Einheiten rechnen, das Ergebnis auf Plausibilität prüfen. Was du hier trainierst – die feste Reihenfolge, die Einheitenprobe, das Skalieren statt Ausrechnen –, ist damit nicht an eine Fassung des Tests gebunden.