„Arithmetisches Problemlösen" ist neben den Naturwissenschaftlichen Kenntnissen der zweite Untertest, der mit dem TMSnat neu dazukommt. Er stammt aus dem HAM-Nat. Offizielles Übungsmaterial dazu gibt es bisher nicht – die Aufgaben unten sind deshalb keine amtlichen Beispiele, sondern Übungsaufgaben in der Machart, die der Untertest erwarten lässt: kurze, angewandte Rechnungen ohne Taschenrechner.
Zwei Dinge unterscheiden ihn von „Quantitative und formale Probleme". Erstens ist das Zeitfenster pro Aufgabe deutlich enger. Zweitens geht es seltener darum, eine Formel aufzustellen, und öfter darum, eine einfache Rechnung schnell und fehlerfrei durchzuziehen. Wer sauber überschlägt, mit Brüchen statt Dezimalzahlen rechnet und Einheiten erst am Schluss umrechnet, gewinnt hier Sekunden – und Sekunden sind hier die Währung.
Prozente und Anteile
Aufgabe 1
Eine Tablette enthält 400 mg Wirkstoff. Der Hilfsstoffanteil beträgt 2,5 % der Wirkstoffmasse. Wie viel Hilfsstoff enthält die Tablette?
Lösung: 1 % von 400 mg sind 4 mg, also sind 2,5 % genau 2,5 · 4 mg = 10 mg.
Kniff: Rechne nie „400 · 0,025". Geh über 1 %, das ist ein Kommaverschieben, und multipliziere dann. Bei Prozentsätzen unter 10 ist das fast immer der kürzere Weg.
Aufgabe 2
Ein Konzentrat soll im Verhältnis 1:4 verdünnt werden, also ein Teil Konzentrat auf vier Teile Lösungsmittel. Du hast 250 ml Konzentrat. Wie viel Lösungsmittel brauchst du, und wie viel Gesamtlösung erhältst du?
Lösung: Vier Teile Lösungsmittel zu einem Teil Konzentrat: 4 · 250 ml = 1000 ml Lösungsmittel. Die Gesamtlösung besteht aus fünf Teilen: 5 · 250 ml = 1250 ml.
Kniff: Die häufigste Falle im ganzen Untertest. „1:4" heißt ein Teil auf vier Teile, nicht „ein Teil von vier". Wer das verwechselt, rechnet mit 1000 ml Gesamtlösung statt 1250 ml und liegt genau um einen Teil daneben. Frag dich immer: Gesamtteile oder nur das Lösungsmittel.
Aufgabe 3
Von 240 Probanden brechen drei Achtel die Studie vorzeitig ab. Wie viele beenden sie?
Lösung: Ein Achtel von 240 sind 30, also brechen 3 · 30 = 90 ab. Es beenden 240 − 90 = 150 Probanden.
Kniff: Lies die Frage zu Ende. Gefragt ist, wer beendet, gerechnet hast du zuerst, wer abbricht. Genau darauf zielt die Aufgabe.
Einheiten
Aufgabe 4
Eine Lösung enthält 40 mg Wirkstoff pro Milliliter. Wie viel Gramm pro Liter sind das?
Lösung: Von Milligramm auf Gramm ist der Faktor 1000 nach unten, von Milliliter auf Liter der Faktor 1000 nach oben. Die beiden heben sich auf: 40 g/l.
Kniff: mg/ml und g/l sind zahlenmäßig identisch. Das lohnt sich zu merken, es kommt bei Konzentrationen ständig vor und spart jedes Mal eine halbe Minute.
Aufgabe 5
Eine Probe wiegt 6 · 10⁻⁴ g. Wie viel Mikrogramm sind das?
Lösung: Ein Gramm sind 10⁶ Mikrogramm. Also 6 · 10⁻⁴ · 10⁶ µg = 6 · 10² µg = 600 µg.
Kniff: Bei Zehnerpotenzen nur die Exponenten addieren, nie ausmultiplizieren. −4 plus 6 ergibt 2. Wer hier ausschreibt, verzählt sich bei den Nullen – das ist der mit Abstand häufigste Fehler in diesem Aufgabentyp.
Aufgabe 6
Berechne 2,5 · 10⁵ geteilt durch 5 · 10².
Lösung: Zahlen und Potenzen getrennt: 2,5 / 5 = 0,5 und 10⁵ / 10² = 10³. Zusammen 0,5 · 10³ = 500.
Proportionalität
Aufgabe 7
Eine Infusion läuft mit konstanter Rate und ist nach 120 Minuten durch. Wie lange dauert sie bei anderthalbfacher Flussrate?
Lösung: Zeit und Flussrate sind umgekehrt proportional. 120 min / 1,5 = 80 Minuten.
Kniff: Erkenne die Richtung, bevor du rechnest. Mehr Fluss heißt weniger Zeit, also wird geteilt, nicht multipliziert. Und rechne mit dem Faktor, nicht mit absoluten Werten: 120 durch 1,5 ist schneller als der Umweg über die Volumina.
Aufgabe 8
Drei Geräte brauchen für eine Analyse 4 Stunden. Wie lange brauchen zwei Geräte für dieselbe Analyse?
Lösung: Die Arbeit ist konstant: 3 · 4 = 12 Gerätestunden. Bei zwei Geräten sind das 12 / 2 = 6 Stunden.
Kniff: Bilde das Produkt, das gleich bleibt – hier Geräte mal Stunden. Damit wird jede umgekehrt proportionale Aufgabe zu einer Division, egal wie sie verpackt ist.
Zusammengesetzte Rechnungen
Aufgabe 9
Ein Wert steigt um 25 % und fällt anschließend um 20 %. Wie verhält sich der Endwert zum Ausgangswert?
Lösung: Nacheinander multiplizieren: 1,25 · 0,8 = 1. Der Endwert ist genau so groß wie der Ausgangswert.
Kniff: Prozentänderungen werden multipliziert, nie addiert. „+25 % und −20 %" ergibt nicht „+5 %". Und 1,25 · 0,8 = 1 ist ein Paar, das man sich merken kann: ein Viertel rauf und ein Fünftel runter heben sich auf.
Aufgabe 10
In einer Gruppe sind 18 Personen durchschnittlich 4 Jahre im Beruf, 12 Personen durchschnittlich 9 Jahre. Wie hoch ist der Durchschnitt der ganzen Gruppe?
Lösung: Summe der Jahre: 18 · 4 = 72 und 12 · 9 = 108, zusammen 180. Geteilt durch 30 Personen: 6 Jahre.
Kniff: Der Durchschnitt zweier Durchschnitte ist nicht ihr Mittelwert – hier wären das 6,5 statt 6. Es zählt die Gruppengröße. Immer über die Summen gehen.
Aufgabe 11
Eine Infusion läuft mit 15 Tropfen pro Minute über 8 Stunden. Das Besteck liefert 20 Tropfen pro Milliliter. Welches Volumen läuft insgesamt durch?
Lösung: Tropfen gesamt: 15 · 60 · 8 = 7200. Volumen: 7200 / 20 = 360 ml.
Kniff: Erst alles in einer Einheit zusammenführen (Tropfen), dann einmal umrechnen. Wer zwischendurch auf Milliliter wechselt, jongliert mit zwei Umrechnungen gleichzeitig und verliert genau da eine.
Aufgabe 12
Überschlage: 0,48 · 2050.
Lösung: 0,48 liegt knapp unter der Hälfte. Die Hälfte von 2050 ist 1025, also liegt das Ergebnis etwas darunter. Genau: 0,48 · 2050 = 984.
Kniff: Wenn die Antwortmöglichkeiten weit auseinanderliegen, reicht der Überschlag und du sparst die exakte Rechnung ganz. Prüf immer zuerst, wie nah die Optionen beieinanderliegen – das entscheidet, wie genau du rechnen musst.
Was du daraus mitnehmen solltest
Die zwölf Aufgaben decken die Werkzeuge ab, die in diesem Untertest immer wieder gebraucht werden: Prozente über den Ein-Prozent-Schritt, Verhältnisse mit sauber gezählten Teilen, Zehnerpotenzen über die Exponenten, umgekehrte Proportionalität über das konstante Produkt, zusammengesetzte Prozente über Multiplikation, gewichtete Mittel über Summen.
Keines davon ist schwer. Alle werden unter Zeitdruck falsch gemacht, und zwar immer an denselben Stellen: die Richtung der Proportionalität, die Zählweise beim Verhältnis, die Nullen bei den Potenzen, und das Addieren von Prozentsätzen. Wenn du beim Üben notierst, welcher dieser vier Fehler dir passiert ist, brauchst du erstaunlich wenige Durchgänge, bis er aufhört.
Und: es gibt keinen Abzug für falsche Antworten. Eine Aufgabe, die nach einer halben Minute nicht aufgeht, wird angekreuzt und verlassen. In einem Untertest mit anderthalb Minuten pro Aufgabe kostet Hängenbleiben mehr als Raten.