Quantitative und formale Probleme: Übungsaufgaben mit Lösung (TMS & TMSnat)
Der Untertest prüft, ob du naturwissenschaftliche und medizinische Sachverhalte in eine Rechnung übersetzen kannst: Dosierungen und Konzentrationen, Proportionalitäten, Formeln und Einheiten. Die Mathematik selbst ist selten das Problem. Die Punkte gehen an vertauschten Verhältnissen, falschen Einheiten und Kopfrechnen ohne Plan verloren.
Die fünf Aufgaben unten sind nach Schwierigkeit geordnet. Zu jeder gibt es den Rechenweg und eine Erklärung, welcher Fehler hinter jeder falschen Option steckt.
Im TMS
24 Aufgaben · 60 min
Im TMSnat (geplant)
20 Aufgaben · 50 min
Zeit pro Aufgabe
2,5 min
Auf dieser Seite
5 Aufgaben
Die Aufgaben
Antwort anklicken oder mit den Tasten A bis E wählen, dann „Antwort prüfen“ oder Enter. Schreib dir für die Rechnung ruhig etwas auf, im Test hast du dafür ebenfalls nur Papier.
Aufgabe 1 von 5Einheiten prüfen · leicht
Die Membran einer Nervenzelle wird durch folgende Größen beschrieben: Membrankapazität C (Einheit: 1A·s/V), Membranwiderstand R (Einheit: 1V/A), Membranspannung U (Einheit: 1 V). Die Zeitkonstante τ gibt an, wie rasch sich die Membranspannung nach einem Reiz ändert. Welche der folgenden Formeln liefert für τ die Einheit 1 s?
A–E wählen Enter prüfen
Lösung und Erklärung
Richtig ist C: τ = R·C
Es werden nur die Einheiten eingesetzt. Für R·C ergibt sich (VA) * (A·sV); Volt und Ampere kürzen sich, übrig bleibt die Sekunde.
Rechenweg
Einheit von R·C: (VA) * (A·sV)
V und A kürzen sich, es bleibt s
Die anderen Optionen
Option A
Falsch. RC hat die Einheit (VA) / (A·sV)=V2A2·s. Volt und Ampere kürzen sich hier nicht.
Option B
Falsch. U·CR hat die Einheit V· (A·sV) · (AV)=A2·sV. Es bleibt nicht allein die Sekunde übrig.
Option D
Falsch. R·C hat bereits die Einheit s. Die Division durch U ergibt sV, also keine reine Zeit.
Option E
Falsch. UR·C hat die Einheit Vs. Das ist eine Spannungsänderung je Zeit, keine Zeit.
Aufgabe 2 von 5Zwei Proportionalitäten · mittel
Die Luftmenge, die ein Taucher je Minute aus seiner Druckluftflasche entnimmt, ist sowohl seinem Atemminutenvolumen (je Minute eingeatmetes Volumen) als auch dem Umgebungsdruck direkt proportional. In 10 m Tiefe (Umgebungsdruck 2 bar) reicht der Vorrat einer Flasche bei einem Atemminutenvolumen von 16l/min für 90 Minuten. Wie lange reicht der gleiche Vorrat in 30 m Tiefe (Umgebungsdruck 4 bar), wenn das Atemminutenvolumen wegen körperlicher Anstrengung 24l/min beträgt?
A–E wählen Enter prüfen
Lösung und Erklärung
Richtig ist B: 30 Minuten
Die Zeit, für die der Vorrat reicht, ist dem Luftverbrauch je Minute umgekehrt proportional und damit sowohl dem Umgebungsdruck als auch dem Atemminutenvolumen. Der doppelte Druck halbiert die Zeit auf 45 Minuten, das 1,5-fache Atemminutenvolumen verkürzt sie auf zwei Drittel davon, also auf 30 Minuten.
Rechenweg
Umgebungsdruck steigt von 2 bar auf 4 bar, der Verbrauch verdoppelt sich: 90min·24=45min
Atemminutenvolumen steigt von 16l/min auf 24l/min, der Verbrauch wird 1,5-mal so groß: 45min·1624=30min
Die anderen Optionen
Option A
Falsch. Hier wurde mit dem Verhältnis der Tiefen statt der Drücke gerechnet: 90min·1030·1624=20min. Maßgeblich ist der Umgebungsdruck, der von 2 bar auf 4 bar steigt.
Option C
Falsch. Hier wurde nur der höhere Umgebungsdruck berücksichtigt: 90min·24=45min. Das größere Atemminutenvolumen verkürzt die Zeit zusätzlich.
Option D
Falsch. Hier wurde nur das größere Atemminutenvolumen berücksichtigt: 90min·1624=60min. Der doppelte Umgebungsdruck halbiert die Zeit zusätzlich.
Option E
Falsch. Hier wurde der Druck in die falsche Richtung eingerechnet: 90min·42·1624=120min statt 90min·24·1624=30min.
Aufgabe 3 von 5Verdünnungsreihe · mittel
Zur Bestimmung der Keimzahl wird 1 ml Wasser aus einem Teich mit 9 ml keimfreier Lösung gemischt. Von dieser Mischung wird wiederum 1 ml mit 9 ml keimfreier Lösung gemischt, und mit der so erhaltenen Mischung wird ebenso ein drittes Mal verfahren. Von der dritten Verdünnungsstufe werden 0,1 ml auf einem Nährboden verteilt. Nach der Bebrütung werden 45 Kolonien gezählt; jede Kolonie geht auf einen einzelnen Keim zurück. Wie viele Keime enthielt 1 ml des unverdünnten Teichwassers?
A–E wählen Enter prüfen
Lösung und Erklärung
Richtig ist D: 4,5·105
45 Kolonien aus 0,1 ml bedeuten 450 Keime je ml der dritten Verdünnungsstufe. Jeder Verdünnungsschritt (1 ml auf 10 ml) senkt die Keimzahl je ml auf ein Zehntel, drei Schritte auf ein Tausendstel. Das unverdünnte Wasser enthielt also 450·1000=450.000=4,5·105 Keime je ml.
Rechenweg
Keime je ml der dritten Verdünnungsstufe: 45 : 0,1=450.
Verdünnung je Schritt: 1 ml auf 1ml+9ml=10ml, also 1 : 10.
Drei Schritte: 10·10·10=1000.
Unverdünntes Wasser: 450·1000=450.000=4,5·105 Keime je ml.
Die anderen Optionen
Option A
Falsch. 45 : 0,1=450 ist die Keimzahl je ml der dritten Verdünnungsstufe; die Verdünnung auf ein Tausendstel wurde nicht zurückgerechnet.
Option B
Falsch. Das aufgetragene Volumen wurde in die falsche Richtung eingerechnet: 45·0,1·1000=4500. Auf 1 ml bezogen sind es aber zehnmal so viele Keime wie in 0,1 ml, also 45 : 0,1=450.
Option C
Falsch. Hier wurde nur die Verdünnung berücksichtigt: 45·1000=45.000. Die 45 Kolonien stammen aber aus 0,1 ml, nicht aus 1 ml.
Option E
Falsch. Hier wurde eine Zehnerstufe zu viel eingerechnet, etwa vier statt drei Verdünnungsschritte: 450·10.000=4,5·106.
Aufgabe 4 von 5Halbwertszeit und Wirkdauer · schwer
Ein Beruhigungsmittel wirkt, solange seine Menge im Körper über einem bestimmten Schwellenwert liegt. Nach der Einnahme gelangt es sofort und vollständig in den Körper; danach halbiert sich die Menge im Körper alle 4 Stunden. Nach Einnahme der einfachen Dosis hält die Wirkung 6 Stunden an. Wie lange hält die Wirkung an, wenn stattdessen einmalig die doppelte Dosis eingenommen wird?
A–E wählen Enter prüfen
Lösung und Erklärung
Richtig ist C: 10 Stunden
Nach 4 Stunden ist von der doppelten Dosis noch die Hälfte vorhanden, also genau die einfache Dosis. Von da an verläuft alles wie nach Einnahme der einfachen Dosis, die Wirkung hält weitere 6 Stunden an. Insgesamt sind das 4h+6h=10 Stunden: Die doppelte Dosis verlängert die Wirkung nur um eine Halbierungszeit.
Rechenweg
Doppelte Dosis nach einer Halbierungszeit (4 h): 2 Dosen : 2=1 Dosis.
Ab diesem Zeitpunkt gleicher Verlauf wie bei der einfachen Dosis: noch 6 h Wirkung.
Gesamte Wirkdauer: 4h+6h=10h.
Die anderen Optionen
Option A
Falsch. 2·4h=8h: Hier wurde die Halbierungszeit verdoppelt statt zur Wirkdauer der einfachen Dosis hinzugezählt. Nach 4 Stunden ist die einfache Dosis erreicht, die dann noch 6 Stunden wirkt.
Option B
Falsch. Hier wurde die Wirkdauer um die Hälfte verlängert: 6h·1,5=9h. Hinzu kommt aber genau eine Halbierungszeit von 4 Stunden.
Option D
Falsch. Doppelte Dosis bedeutet nicht doppelte Wirkdauer (2·6h=12h). Weil sich die Menge alle 4 Stunden halbiert, ist der Vorsprung der doppelten Dosis schon nach 4 Stunden aufgebraucht.
Option E
Falsch. Hier wurden zwei Halbierungszeiten hinzugezählt: 6h+2·4h=14h. Um von der doppelten auf die einfache Dosis zu kommen, genügt eine Halbierung.
Aufgabe 5 von 5Wachstum und Potenzen · sehr schwer
Das Volumen eines kugelförmigen Tumors verdoppelt sich alle 50 Tage. Das Volumen einer Kugel ist proportional zur dritten Potenz ihres Durchmessers. Der Tumor hat zunächst einen Durchmesser von 1 cm. Nach wie vielen Tagen hat er bei unverändertem Wachstum einen Durchmesser von 4 cm erreicht?
A–E wählen Enter prüfen
Lösung und Erklärung
Richtig ist D: 300 Tage
Verdoppelt wird das Volumen, nicht der Durchmesser. Beim vierfachen Durchmesser ist das Volumen 43=64-mal so groß. Wegen 64=26 sind dafür sechs Verdopplungen nötig, also 6·50Tage=300Tage.
Rechenweg
Verhältnis der Durchmesser: 4 cm : 1cm=4.
Verhältnis der Volumina: 43=64.
Zahl der Verdopplungen: 64=26, also 6.
Zeit: 6·50Tage=300Tage.
Die anderen Optionen
Option A
Falsch. Hier wurde die Verdopplung des Volumens mit der Verdopplung des Durchmessers gleichgesetzt: 4=22, also 2·50Tage=100Tage. Nach zwei Verdopplungen ist aber erst das Volumen viermal so groß.
Option B
Falsch. Nach drei Verdopplungen (150 Tage) ist das Volumen 23=8-mal so groß; damit hat sich der Durchmesser erst einmal verdoppelt, auf 2 cm.
Option C
Falsch. Hier wurde mit dem Quadrat statt mit der dritten Potenz gerechnet: 42=16=24, also 4·50Tage=200Tage.
Option E
Falsch. Hier wurde der Faktor 4 mit 3 multipliziert statt mit 3 potenziert: 4·3=12 Verdopplungen, 12·50Tage=600Tage. Nötig sind 6 Verdopplungen, denn 43=64=26.
So gehst du an Quanti-Aufgaben heran
Erst die Frage, dann die Zahlen. Lies zuerst, wonach gefragt ist und in welcher Einheit. Danach suchst du im Text nur die Angaben, die du dafür brauchst. Manche Zahl steht nur im Text, damit du sie falsch einsetzt.
Einheiten mitschreiben. Wer die Einheiten durch die Rechnung trägt, merkt sofort, wenn Milligramm und Milliliter vertauscht sind. Die falschen Optionen sind oft genau solche Fehler, ausgerechnet.
Richtung vor Betrag. Bei Proportionalitäten zuerst entscheiden, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss. Damit fallen oft schon zwei Optionen weg, bevor du rechnest.
Schätzen, wo es reicht. Liegen die Optionen weit auseinander, genügt ein Überschlag. Die gesparte Zeit brauchst du für die Aufgaben, bei denen es auf die Kommastelle ankommt.
Im TMS sind es 60 Minuten für 24 Aufgaben, für den TMSnat sind 50 Minuten für 20 Aufgaben geplant. In beiden Fällen sind das 2,5 Minuten pro Aufgabe. Bleib im Schnitt darunter, sonst fehlen dir am Ende die Minuten für die leichten Aufgaben.
Gibt es den Untertest auch im TMSnat?
Ja. Laut geplanter Zusammensetzung (Stand 26.06.2026) gehört Quantitative und formale Probleme zum TMSnat, mit 20 Aufgaben in 50 Minuten. Was sich sonst ändert, steht in unserem Überblick zum TMSnat 2027.
Wie übe ich danach weiter?
Mit vielen Aufgaben unter Testzeit und einer ehrlichen Nachbereitung: Schreib zu jeder falschen Antwort auf, welcher Fehler dahintersteckte. In openTMS übst du den Untertest im Zeitkorsett des Tests, falsch gelöste Aufgaben kommen später wieder. Die ersten 2 Wochen sind kostenlos.